【無料/印刷】中学受験算数「図形数列・ご石並べ」思考力・無限ドリル（図解付き）

「図形数列」は、ご石やブロックが一定の規則で増えていく様子から、遠く離れた番目の個数や合計を求める問題です。 正方形・三角形・長方形・中空方陣といった図形ごとに、増え方には決まったパターンがあります。まずは図形の種類ごとの使い分けを一覧で押さえてから、それぞれの考え方を具体例で見ていきましょう。

4つの図形パターンと使う式

図形	N番目の個数	具体例（1〜3番目）
正方形（平方数）	N × N	1個 → 4個 → 9個
三角形（三角数）	N ×（N＋1）÷ 2	1個 → 3個 → 6個
長方形（矩形数）	N ×（N＋1）	2個 → 6個 → 12個

中空方陣（外側だけ）は、他の3つとは少し形式が違います。「N番目」ではなく、「一辺に並ぶご石の数」を直接使って計算します。

一辺に並ぶご石の数	2個	3個	4個
外側だけのご石の総数	4個	8個	12個

式は「（一辺のご石の数－1）×4」です。例えば一辺が4個なら、(4－1)×4＝12個となり、上の表と一致します。

どの式を使うかは、図形の「増え方」を見て判断します。まずは代表格の三角形で、実際に手順を追ってみましょう。

三角形（三角数）を例に、考え方を追ってみる

ご石が三角形に並ぶパターン（1番目は1個、2番目は3個、3番目は6個…）を考えてみます。

1. まず、増え方を確認します。
   1番目→2番目で+2、2番目→3番目で+3…というように、足す数が1ずつ増えていることに気づきます。
2. 「1からNまでの和」になっていることを見抜きます。
   3番目の6個は「1+2+3」、4番目なら「1+2+3+4=10個」というように、1番目からその番目までの数をすべて足した数と同じになっています。
3. 公式を使って一気に計算します。
   1からNまでの和は「N×(N+1)÷2」で求められます。例えば10番目なら、10×11÷2＝55個です。

応用：「奇数の和」が正方形になる不思議

このドリルの応用パターンの中に、「1番目は1個、2番目は3個、3番目は5個…と奇数個ずつ増えるご石を、N番目まで全部足す」という問題があります。 実はこの合計、驚くことにいつも平方数（N×N）になります。実際にご石を並べて確認してみましょう。

3番目までの奇数の和（1+3+5＝9個）はちょうど3×3の正方形になっていて、そこに4番目の奇数（7個）をL字型に足すと、そのまま4×4の正方形（16個）に変身します。 「奇数を1つ足すたびに、正方形がひとまわり大きくなる」というこの性質が、「奇数の和＝平方数」になる理由です。

よくある間違い

何年生で習う？レベル別の目安

塾のカリキュラムによって呼び方や時期に差はありますが、おおよその目安は次の通りです。

レベル	目安学年	出題傾向
正方形・三角形（N番目）	4〜5年生〜	規則性の基本。数列の考え方の応用としても登場。
長方形・中空方陣	5年生〜	図形の形に応じて式を使い分ける、標準〜応用パターン。
N番目までの合計（平方数の和・奇数の和など）	5〜6年生・難関校対策	複数の考え方を組み合わせる、入試頻出の応用パターン。

保護者の方へ：家庭での教え方のコツ

図形数列は、公式を覚えるだけでは応用が効きません。「なぜその式になるのか」を、実際に手を動かして確認させることが、理解を深める一番の近道です。

• 実際に並べさせる：おはじきや碁石があれば、1番目、2番目、3番目と実際に並べさせてみましょう。増え方を目で見て確認することで、式の意味が体感的にわかります。
• 表を書く習慣をつける：「番目」と「個数」を表にして、差を書き込んでみると、規則性に自分で気づきやすくなります。

よくある質問（FAQ）

まとめ：図形の増え方から式を見抜く

図形数列は、実際に並べて数える力ではなく、「増え方の規則を見つけて式にする力」が試される単元です。正方形・三角形・長方形・中空方陣、それぞれの増え方の特徴をつかめば、初めて見る図形パターンにも対応できるようになります。

中学受験算数の特殊算を単元別にまとめたページも用意しています。「中学受験算数 特殊算まとめ」はこちらから、数列・規則性や群数列など他の単元もあわせてチェックできます。