【無料/印刷】つるかめ算・無限ドリル（解説付き）
基本問題（足の数・買い物）から、難関校で出題される「弁償算（じゃんけん）」や「3変数のつるかめ」まで、幅広いレベルに対応しました。
ボタンを押すたびに数字が変わる無限ドリル形式です。苦手がなくなるまで何度でも印刷してご活用ください。
「つるかめ算」は、中学受験算数の「特殊算」の中でも最も出題頻度が高く、また他のあらゆる単元（速さ・割合・食塩水など）の考え方の土台にもなる、特に重要な単元です。 このページでは、単なる公式の暗記ではなく、「なぜその式になるのか」を根本から理解できることを目指して、基本の考え方から難関校で狙われる応用パターンまで、順を追って解説します。
そもそも「つるかめ算」とは
つるかめ算とは、1つあたりの数量が異なる2種類（またはそれ以上）のものが混ざっていて、「合計の個数」と「合計の数量」だけがわかっているときに、それぞれの内訳を求める問題です。 そのルーツは、4世紀ごろの中国の数学書『孫子算経（そんしさんきょう）』に登場する「キジとウサギ」の問題にさかのぼると言われています。これが日本に伝わり、江戸時代の和算書『算法点竄指南録（さんぽうてんざんしなんろく）』（1815年）の中で、初めて「ツルとカメ」に置き換えられて紹介されたと伝えられています。
実際の入試では「ツルとカメ」そのものはほとんど出ませんが、「鉛筆とノートの代金」「バスとタクシーの台数」「正解と不正解の得点」など、形を変えて非常に多くの問題に姿を変えて出題されます。 つまり、つるかめ算は特定の単元というより、「2種類の内訳を求める」という考え方の型そのものだと理解しておくと、応用が効くようになります。
基本の解き方：面積図でイメージする
つるかめ算を理解する上で最も効果的なのが「面積図」です。縦の長さを「1つあたりの数量」、横の長さを「個数」とした長方形を2つ並べて考えると、式の意味が目に見える形になります。 まずは、実際に1問、手順を追って解いてみましょう。
- まず「全部ツルだった」と仮定します。
ツルの足は2本なので、10ひき全部ツルなら 2×10＝20本。 - 実際の足の数との「差」を求めます。
実際は32本なので、差は 32－20＝12本。 - この差を「1匹あたりの足の差」で割ります。
カメの足4本－ツルの足2本＝2本。
12÷2＝6 → これがカメの数です。 - 残りがツルの数になります。
10－6＝4 → ツルは4ひき。
薄い水色の部分（8＋12＝20）が「もし全部ツルだったら」の面積。赤い部分（差12）が、実際の32本との差にあたります。
この面積図が、つるかめ算の考え方を最もよく表しています。横幅が「数」、縦の高さが「1つあたりの数量」、そして長方形の面積が「合計」を表しています。 「もし全部ツルだったら」という仮定は、図の中では点線の高さ（2本）を全体に広げた場合の面積（20）にあたり、実際の合計（32）との差（赤い部分、12）を、カメ1匹あたりの"はみ出した高さ"（2本）で割ることで、カメの数（横幅）が求まる、という構造になっています。 「全部○○だったら、と仮定して差を埋める」という考え方が、つるかめ算のすべての基本です。
別解：表を使って確かめる方法
面積図がまだイメージしにくいうちは、表を使って1つずつ確かめる方法も有効です。ツルの数を0匹、1匹、2匹…と順番に当てはめて、足の合計が32本になる組み合わせを探します。
| ツルの数 | カメの数 | 足の合計 |
|---|---|---|
| 10 | 0 | 2×10+4×0＝20 |
| 8 | 2 | 2×8+4×2＝24 |
| 6 | 4 | 2×6+4×4＝28 |
| 4 | 6 | 2×4+4×6＝32 |
表を使うと時間はかかりますが、「ツルが2匹減るごとに、足の合計が4本ずつ増える」という規則性に気づきやすくなります。この規則性こそが、面積図の「差を埋める」計算の正体です。時間に余裕があるときは、両方の解き方を試してみると理解が深まります。
応用パターン①：弁償算（べんしょうざん）
弁償算は、つるかめ算の応用パターンです。じゃんけんやテストのように「正解すると得点が増え、失敗すると減点される」というルールが入り、増える方向と減る方向の両方を同時に扱う点が基本形との違いです。
- 「全部勝った」と仮定します。
15回すべて勝ったなら、10×15＝150点。 - 実際の得点との差を求めます。
150－90＝60点。 - この差を「勝ちと負けの得点差」で割ります。
1回「勝ち」のはずが「負け」になると、得点は10点減るだけでなく、さらに5点引かれるので、合計15点分のズレが生まれます。
60÷15＝4回 → これが負けた回数です。 - 全体から引いて、勝った回数を求めます。
15－4＝11回 → A君は11回勝ちました。
弁償算でつまずきやすいのは、③の「差を埋める計算で求まるのは"負けた回数"である」ということを忘れて、そのまま答えにしてしまうケースです。何を求めているのか、最後にもう一度問題文を見返す習慣をつけましょう。
応用パターン②：3変数のつるかめ算
難関校では、登場する種類が2つではなく3つに増えた「3変数のつるかめ算」が出題されます。一見複雑ですが、「2つを1セットにまとめる」ことで、いつものつるかめ算に変換できます。
- 「同じ枚数」の2種類を1セットにまとめます。
50円切手と80円切手が同じ枚数なので、2枚で130円の「セット」として考えます。 - 「全部100円切手だった」と仮定します。
12枚全部100円なら、100×12＝1200円。 - 実際の代金との差を求めます。
1200－1080＝120円。 - 1セットあたりのズレで割ります。
セット（2枚・130円）を100円切手2枚（200円）と数えてしまった誤差は、200－130＝70円。
120÷70では割り切れないため、この例題のままでは答えが整数になりません（実際に手を動かして確かめてみると、割り切れない組み合わせがあることがよく分かります）。このドリルでは、必ず割り切れる数値の組み合わせだけを自動的に選んで出題しています。
ポイントは、「同じ枚数」「同じ個数」という条件を見つけたら、それらを1つのセットにまとめて2種類の問題に変換することです。3変数だからと身構える必要はありません。
よくある間違い
何年生で習う？レベル別の目安
以下はあくまで一般的な目安です。塾や教材によって、習う時期や呼び方には幅があります。
| レベル | 目安学年 | 出題傾向 |
|---|---|---|
| 基本（ツルとカメ・買い物） | 4年生〜 | 多くの塾で最初に習う単元。まずはここを確実に。 |
| 応用（バイクと車・図形の辺） | 5年生〜 | 設定が変わっても同じ手順で解けるか確認する段階。 |
| 弁償算 | 5年生後半〜 | 「増減両方」を扱う思考力が問われる、入試頻出パターン。 |
| 3変数のつるかめ算 | 6年生・難関校対策 | 「セットにまとめる」発想が必要な、応用力重視の問題。 |
保護者の方へ：家庭での教え方のコツ
お子様がつるかめ算でつまずいているとき、つい「公式」を教え込みたくなりますが、公式を丸暗記しただけでは、設定が変わった応用問題に対応できません。 「もし全部○○だったら…」という"仮定してみる"という発想そのものを、一緒に声に出しながら確認してあげてください。
- 身近なものに置き換えてみる：「もし、おこづかいが全部100円玉だったら…」のように、生活の中の具体例で仮定の練習をすると、抽象的な数の操作に抵抗がなくなります。
- 面積図を一緒に描いてみる：大人が横で同じ図を描いてあげると、「差」がどこを指しているのか視覚的に共有しやすくなります。
- 間違えた問題こそ宝物：間違えた問題は、「よくある間違い」のどのパターンに当てはまるかを一緒に確認すると、同じミスを繰り返しにくくなります。
よくある質問（FAQ）
まとめ：つるかめ算は「特殊算の入り口」
つるかめ算は、それ単体で終わる単元ではなく、「差を埋める」という考え方が、この後に習う年齢算・食塩水・仕事算など、あらゆる特殊算に応用されていきます。 このドリルで基本と弁償算・3変数のパターンまで一通り身につけたら、ぜひ他の特殊算にも挑戦してみてください。
中学受験算数の特殊算を単元別にまとめたページも用意しています。「中学受験算数 特殊算まとめ」はこちらから、旅人算・年齢算・食塩水など他の単元もあわせてチェックできます。
