【無料/印刷】旅人算・無限ドリル（応用編：時間差・往復・周回）

【無料/印刷】旅人算・無限ドリル（応用・難関校対策）

中学受験の難所「旅人算」の応用問題プリントです。
「時間差スタート」「折り返し（往復）」「池の周り（周回）」などの実戦的なパターンが出題されます。

※難関校（偏差値60〜）を目指す方向けのドリルです。
基礎に不安がある場合は「基礎編」から始めてください。

出題パターン：

旅人算の応用は、基本の「出会い・追いつき」に、「時間差」「折り返し」「周回コース」という3つの新しい状況が組み合わさったパターンです。どれも一見複雑に見えますが、基本と同じく「2人の間の距離が、1分間にどれだけ縮まる（または開く）か」を整理すれば、必ず解けます。このページでは、3パターンそれぞれの考え方を、具体例とともに解説します。

応用①：時間差スタート（あとから追いかける）

片方が先に出発し、あとからもう一方が追いかける設定です。基本の「追いつき」との違いは、追いかける人が出発する時点で、すでに相手が先に進んでしまっていることです。

【例題】弟が分速60mで家を出発しました。その5分後に、兄が分速90mで弟を追いかけました。兄は出発してから何分後に弟に追いつきますか。

兄が出発する時点での、2人の間の距離（先行距離）を求めます。
弟は5分間、分速60mで歩いているので、60×5＝300m先に進んでいます。
1分間に、この差がどれだけ縮まるかを求めます。
兄が90m、弟が60m進むので、差は毎分90－60＝30mずつ縮まります。
先行距離を、縮まる速さで割ります。
300÷30＝10分後。

「先に進んだ分の距離」を求めてから、あとは基本の「追いつき」と同じ計算をするだけです。時間差があっても、慌てず2段階に分けて考えましょう。

応用②：折り返し（往復での出会い）

速い方がゴールに着いてすぐ折り返し、戻ってくる途中でもう一方とすれ違うパターンです。一見複雑ですが、実は「2人が進んだ距離の合計は、必ず往復の距離（片道の2倍）になる」という美しい性質があります。

【例題】A地点からB地点まで350mあります。兄は分速100m、弟は分速40mで、同時にA地点を出発してB地点へ向かいました。兄はB地点に着くとすぐに折り返し、A地点へ向かったところ、途中で弟とすれ違いました。すれ違ったのは出発してから何分後ですか。

すれ違うまでに、2人が進んだ距離の合計を考えます。
弟はA→すれ違い地点まで進み、兄はA→B→すれ違い地点まで進みます。この2つを合計すると、ちょうど「A→B→A」の往復分、つまり350×2＝700mになります。
2人合わせた速さで、この距離を割ります。
2人が1分間に進む距離の合計は、100＋40＝140m。
往復距離を、2人合わせた速さで割ります。
700÷140＝5分後。

「2人の進んだ距離の合計＝往復距離」という関係は、すれ違う場所がどこであっても必ず成り立ちます。この性質を知っているだけで、複雑に見える折り返し問題が、基本の出会い算と同じ形の式で解けるようになります。

応用③：周回コース（池の周り・追い越し）

池の周りのような周回コースを、同じ場所から同じ方向に同時にスタートするパターンです。「速い方が遅い方を1周分追い抜く」ことを「追い越す」と表現します。

【例題】1周600mの池の周りを、兄は分速100m、弟は分速70mで同時に同じ方向へ走り出しました。兄が弟を初めて追い越すのは何分後ですか。

1分間に、2人の差がどれだけ開くか考えます。
同じ方向に走っているので、速さの差の分だけ兄が弟を引き離します。100－70＝30mずつ差が開きます。
「追い越す」とは、1周分だけ差がつくことです。
兄が弟をちょうど1周分（600m）引き離した瞬間が、追い越すタイミングです。
1周分の差がつくまでの時間を求めます。
600÷30＝20分後。これが答えです。

直線上の「追いつき」との違いは、追いつくために必要な差が「一定の距離」ではなく「コース1周分」になる、という点だけです。考え方自体は基本の追いつき算と同じです。

よくある間違い

① 時間差スタートで、先行距離の計算を忘れる

あとから出発する人の速さと、先に出発した人の速さの差だけで計算しようとして、「すでに進んでいた距離」を足し忘れるミスが見られます。まず先行距離を求める、という最初のステップを省略しないようにしましょう。

② 折り返し問題で、片道の距離をそのまま使ってしまう

「2人の進んだ距離の合計＝往復距離（片道の2倍）」であることを忘れ、片道の距離のまま計算してしまうケースです。折り返しが出てきたら、必ず「2倍」を意識しましょう。

③ 周回コースで、速さを足してしまう

同じ方向に進んでいるにもかかわらず、出会い算のクセで速さを足し算してしまう間違いです。同じ方向なら「差」、向かい合う方向なら「和」、という基本ルールを再確認しましょう。

何年生で習う？レベル別の目安

以下はあくまで一般的な目安です。塾や教材によって、習う時期や呼び方には幅があります。

レベル	目安学年	出題傾向
時間差スタート	5年生〜	基本の追いつき算に「先行距離」を足す、最初の応用パターン。
折り返し（往復）	5〜6年生〜	「進んだ距離の合計＝往復距離」という性質に気づけるかがカギ。
周回コース	6年生・難関校対策	直線と円形の違いを整理する力が問われる、入試頻出パターン。

保護者の方へ：家庭での教え方のコツ

応用問題は文章が長くなるため、お子様が混乱しやすいポイントです。「まず線分図やコース図を描いてから、式を立てる」という順番を徹底させてあげてください。

状況を声に出して整理させる：「誰が」「いつ」「どこから」出発したかを、お子様自身の言葉で説明させると、頭の中の整理が進みます。
基本に戻って確認する：応用問題で行き詰まったときは、まず基本の「出会い」「追いつき」の考え方（速さを足すか引くか）に立ち返らせてください。応用は、基本の組み合わせでしかありません。